Элементарные преобразования графиков

Основными элементарными функциями считаются: степенная функция y = x α , показательная функция y = a x , a > 0, a 6= 1, логарифмическая функция y = loga x, a > 0, a 6= 1, тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x и обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.

Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом их композиций и арифметических операций.

Рассмотрим вопрос построения графиков функций с помощью элементарных преобразований. Допустим, что построен график функции y = f(x), x ∈ X. В следующей таблице описано, как изменяется этот график при определенном преобразовании функции f(x) или ее аргумента.

Пример 1. Построим эскиз графика функции

y(x) = log3 (1 − 2x).

Для этого нужно выполнить следующие построения:

1. y1(x) = log3 x (рис. 1 а);

2. y2(x) = log3 (2 · x) — сжатие графика функции y1(x) вдоль оси Ox относительно оси Oy в два раза (рис. 1 б);

3. y3(x) = log3 (−2 · x) — симметричное отображение графика функции y2(x) относительно оси Oy (рис. 1 в);

4. y4(x) = log3 h −2 · ³ x − 1 2 ´i ≡ y(x) — сдвиг графика функции y3(x) на 1 2 вправо вдоль оси Ox (рис. 1 г).